В.С. Козякин

Экстремальные нормы, разрывные отображения окружности и контрпример к гипотезе Лагариаса-Ванга о конечности

В 1995 г. Дж. Лагариас и Янг Ванг высказали предположение о том, что обобщенный спектральный радиус конечного набора матриц всегда достигается на некотором конечном произведении матриц. Первый контрпример к этой “гипотезе о конечности” был построен в 2002 г. Т. Бушем и Ж. Мерессом, а соответствующее доказательство существенно опиралось на конструкции теории меры. В 2003 г. В. Блондель, А. Владимиров и Ж. Тэсс представили другое доказательство контрпримера к гипотезе о конечности, которое было основано на комбинаторных свойствах перестановок произведений положительных матриц.

В теории динамических систем обобщенный спектральный радиус используется, в основном, для описания скорости сходимости или расходимости траекторий, описываемых произведениями матриц. В связи с этим, упомянутые выше методы построения контрпримера к гипотезе о конечности не совсем удовлетворительны (с точки зрения автора, конечно), поскольку они не дают достаточно конструктивного описания структуры траекторий с максимальной скоростью роста (или минимальной скоростью убывания).

В статье предлагается еще одно доказательство контрпримера к гипотезе о конечности, выполненное в достаточно традиционной манере теории динамических систем. Предложено описание траекторий с максимальной скоростью роста в терминах так называемых экстремальных норм Н. Барабанова и связанных с ними экстремальных траекторий. Конструкция контрпримера основана на детальном анализе свойств экстремальных норм наборов двумерных положительных матриц и существенно использует технику символов Грама, позаимствованную из работы Т. Буша и Ж. Мересса. Наконец, важную роль в доказательстве играют понятие и свойства числа вращения для разрывных сохраняющих ориентацию отображений окружности.