В.С. Козякин

Структура экстремальных траекторий дискретных линейных систем и гипотеза Лагариаса-Ванга о конечности

В 1995 г. Дж. Лагариас и Янг Ванг высказали предположение о том, что обобщенный спектральный радиус конечного набора матриц всегда достигается на некотором конечном произведении матриц. Первый контрпример к этой “гипотезе о конечности” был построен в 2002 г. Т. Бушем и Ж. Мерессом, а соответствующее доказательство существенно опиралось на конструкции теории меры. В 2003 г. В. Блондель, А. Владимиров и Ж.~Тэсс представили доказательство контрпримера к гипотезе о конечности, основанное на комбинаторных свойствах перестановок произведений положительных матриц.

В теории управления и общей теории динамических систем обобщенный спектральный радиус используется для описания скорости сходимости или расходимости траекторий, описываемых произведениями матриц. В этом контексте упомянутые выше методы построения контрпримера к гипотезе о конечности оказываются не вполне удовлетворительными (с точки зрения автора, конечно), поскольку они не дают достаточно конструктивного описания структуры траекторий с максимальной скоростью роста (или минимальной скоростью убывания).

В связи с этим в 2005 г. автором настоящей статьи было предложено еще одно доказательство контрпримера к гипотезе о конечности, выполненное в духе теории динамических систем. К сожалению, предложенный подход не охватывал того класса матриц, для которого был построен контрпример В. Блонделем, А. Владимировым и Ж. Тэссом. В настоящей работе восполняется этот пробел, что потребовало существенной переработки доказательств.