В.С. Козякин
Структура экстремальных траекторий дискретных линейных систем и гипотеза Лагариаса-Ванга о конечности
В 1995 г. Дж. Лагариас и Янг Ванг высказали
предположение о том, что обобщенный спектральный радиус конечного набора матриц
всегда достигается на некотором конечном произведении матриц. Первый контрпример
к этой “гипотезе о конечности” был построен в 2002 г. Т. Бушем и Ж. Мерессом, а
соответствующее доказательство существенно опиралось на конструкции теории меры.
В 2003 г. В. Блондель, А. Владимиров и Ж.~Тэсс представили доказательство
контрпримера к гипотезе о конечности, основанное на комбинаторных свойствах
перестановок произведений положительных матриц.
В теории управления и общей теории динамических систем обобщенный спектральный
радиус используется для описания скорости сходимости или расходимости траекторий,
описываемых произведениями матриц. В этом контексте упомянутые выше методы
построения контрпримера к гипотезе о конечности оказываются не вполне
удовлетворительными (с точки зрения автора, конечно), поскольку они не дают
достаточно конструктивного описания структуры траекторий с максимальной
скоростью роста (или минимальной скоростью убывания).
В связи с этим в 2005 г. автором настоящей статьи было предложено еще одно
доказательство контрпримера к гипотезе о конечности, выполненное в духе теории
динамических систем. К сожалению, предложенный подход не охватывал того класса
матриц, для которого был построен контрпример В. Блонделем, А. Владимировым и Ж.
Тэссом. В настоящей работе восполняется этот пробел, что потребовало
существенной переработки доказательств.